Продли одну сторону многоугольника за вершину. Угол между продолжением этой стороны и соседней стороной называют внешним углом, смежным с внутренним.
Внутренний угол f и смежный с ним внешний угол e составляют развёрнутый угол.
Пунктир — продолжения сторон. e и f — смежные углы.
e + f = 180°
Например, если внутренний угол равен 125°, то внешний: 180° − 125° = 55°.
Почему сумма равна 360°?
Представь, что идёшь по границе выпуклого многоугольника. При каждой вершине поворачиваешь на внешний угол. Когда обход завершён, ты снова смотришь в исходном направлении: всего повернулся на один полный оборот.
Если перенести внешние углы к одной точке, они заполнят полный круг.
a + b + c + d + e = 360°
Сумма внешних углов = 360°
Берём по одному внешнему углу при каждой вершине, продолжая стороны последовательно в одном направлении. В модели все фигуры выпуклые. У вогнутого многоугольника для полного оборота считают направленные повороты: поворот в противоположную сторону берут со знаком минус.
Правильный многоугольник
У правильного многоугольника все стороны и все внутренние углы равны. Поэтому равны и все внешние углы. Чтобы найти один, раздели полный оборот на число сторон n.
Правильный шестиугольник с шестью внешними углами по 60°
Внешний угол = 360° ÷ n
360° ÷ 6 = 60°; 6 × 60° = 360°.
Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем меньше каждый его внешний угол.
Примеры и обратная задача
Правильный пятиугольник360° ÷ 5 = 72°
Внутренний угол: 180° − 72° = 108°.
Правильный восьмиугольник360° ÷ 8 = 45°
Внутренний угол: 180° − 45° = 135°.
Известен внешний уголn = 360° ÷ угол
Если угол равен 24°, то сторон 360° ÷ 24° = 15.
Внутренний угол равен 150°. Сколько сторон?
Сначала находим внешний угол: 180° − 150° = 30°. Затем число сторон: 360° ÷ 30° = 12.
В этой задаче многоугольник должен быть правильным.
Неизвестный угол неправильного многоугольника
Четыре внешних угла выпуклого пятиугольника равны 50°, 65°, 85° и 75°. Найди пятый.
Четыре известных внешних угла и неизвестный xПоказать решение
Вычти известные углы из полного оборота:
x = 360° − 50° − 65° − 85° − 75° = 85°.
Неизвестный внешний угол равен 85°
Правило 360° ÷ n даёт каждый внешний угол правильного многоугольника. Для неправильного оно даёт только среднее значение.