Многоугольник — плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Её прямолинейные отрезки — стороны, точки соединения соседних сторон — вершины.
Здесь рассматриваем простые многоугольники: их стороны не пересекаются, кроме общих концов соседних сторон, а соседние стороны не лежат на одной прямой. У многоугольника как минимум три стороны.
Число сторон = число вершин = число внутренних углов
Круг не является многоугольником: его граница не состоит из отрезков.
Незамкнутая ломаная не ограничивает многоугольник.
Правильные и неправильные
Многоугольник называют правильным, если у него равны все стороны и все внутренние углы. Если хотя бы две стороны или хотя бы два угла различны, многоугольник неправильный.
Правильный пятиугольник: равны все стороны и все углы.
Ромб, который не является квадратом: стороны равны, но углы различны.
Нужны оба условия сразу. Только равных сторон недостаточно. Только равных углов тоже недостаточно: прямоугольник, который не является квадратом, — неправильный многоугольник.
Названия по числу сторон
Название зависит от количества сторон, а не от размера, положения или правильности фигуры. Например, любой многоугольник с семью сторонами — семиугольник.
Треугольник
Сторон и углов: 3
Четырёхугольник
Сторон и углов: 4
Пятиугольник
Сторон и углов: 5
Шестиугольник
Сторон и углов: 6
Семиугольник
Сторон и углов: 7
Восьмиугольник
Сторон и углов: 8
Девятиугольник
Сторон и углов: 9
Десятиугольник
Сторон и углов: 10
Одиннадцатиугольник
Сторон и углов: 11
Двенадцатиугольник
Сторон и углов: 12
Пятнадцатиугольник
Сторон и углов: 15
Двадцатиугольник
Сторон и углов: 20
Число сторон не ограничено: существуют и 100-угольники, и многоугольники с 10 000 сторонами.
Выпуклые и вогнутые
Выпуклый многоугольник
Все внутренние углы меньше 180°. Отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком находится внутри неё или на её границе.
Вогнутый многоугольник
Хотя бы один внутренний угол больше 180°. У фигуры есть углубление, и можно соединить две её точки отрезком, часть которого пройдёт снаружи.
Прямые углы допустимы у выпуклых фигур. Квадрат выпуклый, хотя все его углы равны 90°. Критерий выпуклости — углы меньше 180°, а не только острые или тупые.
Правильность и выпуклость описывают разные свойства. Правильный многоугольник выпуклый. Неправильный может быть выпуклым или вогнутым.
Сумма внутренних углов
Выпуклый n-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника. В каждом сумма углов равна 180°.