Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Отрезки, соединяющие противоположные вершины, — диагонали: AC и BD.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
Правильный четырёхугольник имеет равные стороны и равные углы. Это квадрат. Равенства только сторон или только углов недостаточно.
Квадрат
Все четыре стороны равны.
Все четыре угла равны 90°.
Противоположные стороны параллельны.
Диагонали равны, перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Осей симметрии: 4. Порядок поворотной симметрии: 4.
Прямоугольник (не квадрат)
Противоположные стороны равны и параллельны.
Все четыре угла равны 90°.
Диагонали равны и делят друг друга пополам.
Диагонали не перпендикулярны.
Осей симметрии: 2. Порядок поворотной симметрии: 2.
Параллелограмм общего вида
Противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные углы равны.
Соседние углы в сумме дают 180°.
Диагонали делят друг друга пополам.
Осей симметрии: 0. Порядок поворотной симметрии: 2.
Ромб (не квадрат)
Все четыре стороны равны.
Противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны.
Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Диагонали не равны; каждая делит углы при своих концах пополам.
Осей симметрии: 2. Порядок поворотной симметрии: 2.
Трапеция общего вида
Ровно одна пара противоположных сторон параллельна.
Параллельные стороны — основания, остальные — боковые стороны.
Углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180°.
Равенство боковых сторон и диагоналей не обязательно.
Осей симметрии: 0. Порядок поворотной симметрии: 1.
Равнобедренная трапеция
Ровно одна пара противоположных сторон параллельна.
Боковые стороны равны.
Углы при каждом основании равны.
Диагонали равны; ось проходит через середины оснований.
Осей симметрии: 1. Порядок поворотной симметрии: 1.
Дельтоид (не ромб)
Две пары соседних сторон равны.
Одна пара противоположных углов равна.
Диагонали перпендикулярны.
Диагональ на оси симметрии делит другую пополам.
Осей симметрии: 1. Порядок поворотной симметрии: 1.
Как связаны названия
Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон. Его частные случаи — прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является прямоугольником и ромбом, а значит, и параллелограммом.
Точные числа осей в карточках для прямоугольника и ромба указаны для фигур, которые не являются квадратами. У квадрата четыре оси, а не две.
Трапецией здесь называем четырёхугольник с ровно одной парой параллельных противоположных сторон.
Диагонали: сравниваем свойства
Фигура
Равны
Перпендикулярны
Делят друг друга пополам
Квадрат
Да
Да
Да
Прямоугольник (не квадрат)
Да
Нет
Да
Ромб (не квадрат)
Нет
Да
Да
Параллелограмм
Не обязательно
Не обязательно
Да
Трапеция
Не обязательно
Не обязательно
Нет
Равнобедренная трапеция
Да
Не обязательно
Нет
Дельтоид
Не обязательно
Да
Одна делит другую
AO = OC, BO = OD; AC = BD.
Диагональ AC делит BD пополам и перпендикулярна ей. AO и OC не обязаны быть равны.
Как читать отметки
Штрихи с одинаковым количеством обозначают равные стороны.
Разные отметки разделяют группы. Они не заменяют условие задачи: по отсутствию отметки нельзя делать вывод о неравенстве.
Периметр
P = AB + BC + CD + DA
Для квадрата со стороной a: P = 4a. Для прямоугольника и параллелограмма со сторонами a и b: P = 2(a + b). Для дельтоида с двумя парами равных соседних сторон a и b формула тоже равна 2(a + b).