Теоремы об окружности — 2

Касательная к окружности

Касательную отличают от секущей, которая пересекает окружность в двух точках. Хорда — отрезок с концами на окружности.

Радиус и касательная

Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.

Важно, что радиус заканчивается в точке касания. Произвольный радиус не обязан быть перпендикулярен этой прямой.

В треугольнике, содержащем центр O, внешнюю точку A и точку касания T, угол T прямой. Поэтому можно использовать сумму углов и теорему Пифагора.

Две касательные из одной точки

Из внешней точки A проведены касательные, касающиеся окружности в B и C. Касательные отрезки AB и AC равны.

Обоснование: прямоугольные треугольники AOB и AOC имеют общую гипотенузу AO и равные катеты OB = OC = r. Они равны по гипотенузе и катету.

Если AO = 13 и r = 5, каждая касательная равна √(13² − 5²) = 12. Это длина отрезка до точки касания, а не всей прямой.

Угол между хордой и касательной

Угол между хордой AB и выбранным лучом касательной в A равен вписанному углу APB в противоположном сегменте.

Если один выделенный угол 57,5°, другой тоже 57,5°. Второй луч касательной даёт дополнительный угол 122,5°.

Проверяй, какой из двух углов при касательной дан и в каком сегменте расположена вершина вписанного угла.

Серединный перпендикуляр к хорде

Прямая, перпендикулярная хорде и проходящая через её середину M, проходит через центр O окружности.

Верно и обратное: перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.

Если радиус 5, расстояние от центра до хорды 3, половина хорды равна √(5² − 3²) = 4. Вся хорда равна 8.

Для хорды-диаметра середина совпадает с центром. При поиске центра окружности можно пересечь серединные перпендикуляры к двум непараллельным хордам.