Симметрия помогает узнать, какие отражения и повороты сохраняют фигуру.
Отражение
Осевая симметрия
Фигура обладает осевой, или зеркальной, симметрией, если существует прямая, при отражении относительно которой фигура совпадает сама с собой. Эту прямую называют осью симметрии.
Можно представить сгиб по этой прямой: обе части должны наложиться друг на друга точно.
Поворот
Поворотная симметрия
Фигура обладает поворотной симметрией, если после поворота вокруг некоторой точки на угол больше 0° и меньше 360° её контур совпадает с исходным.
Эту точку называют центром поворота. Направление поворота может быть любым.
Как проверить ось симметрии
Выбери возможную ось.
Представь отражение фигуры относительно этой прямой.
Проверь, совпадают ли все точки зеркальной копии с исходной фигурой.
У равностороннего треугольника три оси симметрии. Каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Диагональ прямоугольника делит площадь пополам, но зеркальные части не совпадают.
Равенства площадей недостаточно. У прямоугольника, который не является квадратом, диагонали не служат осями симметрии. Его две оси проходят через середины противоположных сторон.
Порядок поворотной симметрии
Порядок — число совпадений фигуры с собой при одном полном обороте. Считаем повороты в интервале больше 0° и до 360° включительно. Начальное положение 0° и положение 360° отдельно друг от друга не считаем.
Наименьший угол совпадения = 360° ÷ порядок
90°180°270°360°
Контур квадрата совпадает после 90°, 180°, 270° и 360°. Поэтому порядок равен 4. Цветной участок — метка, с помощью которой можно проследить поворот; она не является частью условия симметрии квадрата.
Порядок 1 означает отсутствие поворотных совпадений меньше 360°. Фигура возвращается на место только после полного оборота. Например, так ведут себя равнобедренный и разносторонний треугольники, если они не равносторонние.
У равностороннего треугольника порядок 3: 360° ÷ 3 = 120°. У прямоугольника — порядок 2: 360° ÷ 2 = 180°.
Правильные многоугольники
У правильного многоугольника все стороны и все углы равны. Если у него n сторон, то он имеет n осей симметрии и поворотную симметрию порядка n.
Осей: n · Порядок: n · Наименьший угол: 360° / n
Пятиугольник: 5 осей, порядок 5, шаг поворота 72°.
Шестиугольник: 6 осей, порядок 6, шаг поворота 60°.
Симметрия прямоугольных треугольников
Равнобедренный прямоугольный треугольник: одна ось, порядок поворотной симметрии 1.
Разносторонний прямоугольный треугольник: осей нет, порядок поворотной симметрии 1.
«У прямоугольного треугольника одна ось симметрии» — верно?
Иногда верно. Это выполняется только для прямоугольного равнобедренного треугольника.
«У прямоугольного треугольника порядок поворотной симметрии 2» — верно?
Неверно. Ни один прямоугольный треугольник не совпадает сам с собой при повороте на 180°. Его порядок равен 1.
Сравним фигуры
Повороты рассматриваем вокруг центра фигуры. Для треугольников в модели используется точка пересечения медиан.
Фигура
Осей
Порядок
Наименьший угол
Равносторонний треугольник
3
3
120°
Квадрат
4
4
90°
Прямоугольник (не квадрат)
2
2
180°
Ромб (не квадрат)
2
2
180°
Правильный пятиугольник
5
5
72°
Правильный шестиугольник
6
6
60°
Равнобедренный треугольник (не равносторонний)
1
1
360°
Прямоугольный равнобедренный треугольник
1
1
360°
Прямоугольный разносторонний треугольник
0
1
360°
Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб)
0
2
180°
Разносторонний треугольник
0
1
360°
Круг
Бесконечно много
Любой поворот
Нет наименьшего
Круг — особый случай. Любая прямая через центр является его осью симметрии. Круг совпадает с собой при любом повороте, поэтому положительного наименьшего угла совпадения нет.
Асимметрия
Если у фигуры нет осей симметрии и нет поворотных совпадений при углах больше 0° и меньше 360°, её называют асимметричной. Например, разносторонний треугольник асимметричен.
Отсутствие осевой симметрии ещё не означает полную асимметрию: обычный параллелограмм не имеет осей, но совпадает с собой после поворота на 180°.