Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°.
Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через его середину под прямым углом. Просто перпендикуляр к прямой не обязан проходить через середину отрезка.
Построения выполняются линейкой без делений и циркулем. Вспомогательные дуги оставляют видимыми: они показывают ход построения.
Через точку P на прямой
С центром в P проведи окружность, пересекающую прямую в A и B. Получатся равные расстояния PA и PB.
Из A и B одинаковым радиусом, большим AP, проведи дуги. Отметь их пересечение Q над прямой.
Соедини P и Q: это искомый перпендикуляр.
Шаг 1: точки A и B равноудалены от PШаг 2: равные радиусы из A и BШаг 3: прямая PQ перпендикулярна исходной
Из точки P вне прямой
Проведи окружность с центром в P достаточно большого радиуса, чтобы она пересекла прямую в A и B.
Из A и B одним радиусом проведи дуги с другой стороны прямой. Отметь их пересечение Q.
Соедини P и Q. Эта прямая перпендикулярна исходной и проходит через P.
Окружность с центром в P пересекает прямую в A и BПересечение равных дуг с другой стороныПерпендикуляр через точку P вне прямой
Радиус второго шага выбирай так, чтобы дуги пересеклись. Например, можно взять PA = PB.
Серединный перпендикуляр к AB
Из A проведи дуги радиусом больше половины AB.
Не меняя радиуса, повтори из B. Получатся два пересечения Q и T по разные стороны AB.
Соедини Q и T. Прямая проходит через середину M и перпендикулярна AB.
Первая дуга из AДве точки пересечения равных окружностейСерединный перпендикуляр QT
Почему построение работает
Каждое пересечение равных окружностей равноудалено от A и B. Все такие точки лежат на серединном перпендикуляре. Поэтому прямая через два пересечения и даёт нужное построение.
Если известны координаты концов, середину находят отдельно по формуле:
При радиусе ровно AB/2 окружности касаются в одной точке; при меньшем — не пересекаются. Для построения двух пересечений нужен радиус больше половины AB.