Гомотетия с центром O и положительным коэффициентом k переносит точку A в A′ на луче OA так, что OA′ = k·OA.
Фигура и её образ подобны: углы равны, а все соответствующие длины изменяются в одинаковое число раз. Центр остаётся на месте.
k > 1
Фигура увеличивается.
0 < k < 1
Фигура уменьшается.
k = 1
Все точки остаются на месте.
Центр и коэффициент
Чтобы описать гомотетию, укажи координаты центра и коэффициент. Коэффициент — отношение длины стороны образа к длине соответствующей исходной стороны.
Здесь l — исходная длина, l′ — новая. Например, если сторона увеличилась с 3 до 12, то k = 12 / 3 = 4.
Центр O = (1; 5). Оранжевый треугольник — исходный, зелёный — при k = 2, тёмный — при k = 4.
Координаты образа
Вычти координаты центра из координат вершины, умножь обе координаты полученного вектора на k, затем прибавь центр обратно.
Важно умножать расстояние от центра. Простое умножение координат вершины подходит только при O = (0; 0).
Как построить увеличенную фигуру
Проведи лучи из O через каждую вершину.
Измерь расстояния от O до вершин и умножь каждое на k.
Отметь образы на соответствующих лучах и соедини их в исходном порядке.
Центр O = (1; 4). Каждая новая вершина находится в три раза дальше от центра.
Прямые через пары соответствующих вершин проходят через центр. Это помогает найти центр по фигуре и её образу, если k ≠ 1.
Что сохраняется и что изменяется
Углы сохраняются. Соответствующие стороны лежат на параллельных или совпадающих прямых, а их длины и периметр умножаются на k. Площадь умножается на k².
Например, при k = 2 стороны удваиваются, а площадь возрастает в 4 раза. При k = 0,5 стороны уменьшаются вдвое, площадь — в 4 раза.
Здесь рассматриваем положительные коэффициенты гомотетии.