Геометрия · 7–11 класс

Планиметрия по полочкам

Раскрывайте карту шаг за шагом: раздел → тема → теорема. У каждого утверждения — чертёж, формулировка и формула.

165теорем, свойств
и формул

Все утверждения доступны и в списке. Нажмите на название, чтобы открыть карточку.

Углы и прямые

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Углы и прямые / Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Формулировка

Сумма двух смежных углов равна развёрнутому углу.

Формула

$\alpha+\beta=180^\circ$

Обозначения и условия

α и β — углы с общей стороной; две другие стороны — противоположные лучи.

Биссектрисы смежных углов

Углы и прямые / Смежные и вертикальные углы

Биссектрисы смежных углов

Формулировка

Биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.

Формула

$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=90^\circ$

Обозначения и условия

α + β = 180°; пунктиром показаны биссектрисы.

Вертикальные углы

Углы и прямые / Смежные и вертикальные углы

Вертикальные углы

Формулировка

Вертикальные углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, равны.

Формула

$\alpha=\beta$

Обозначения и условия

α и β — противоположные, а не соседние углы.

Серединный перпендикуляр

Углы и прямые / Смежные и вертикальные углы

Серединный перпендикуляр

Формулировка

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда равноудалена от его концов.

Формула

$PA=PB\ \Longleftrightarrow\ P\in l$

Обозначения и условия

M — середина AB; l ⟂ AB и проходит через M.

Свойство биссектрисы угла

Углы и прямые / Смежные и вертикальные углы

Свойство биссектрисы угла

Формулировка

Точка внутри угла лежит на его биссектрисе тогда и только тогда, когда расстояния от неё до сторон угла равны.

Формула

Обозначения и условия

PH и PK — перпендикуляры к сторонам угла.

Параллельные прямые

Накрест лежащие углы

Углы и прямые / Параллельные прямые

Накрест лежащие углы

Формулировка

При пересечении параллельных прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны. Верно и обратное.

Формула

$a\parallel b\ \Longleftrightarrow\ \alpha=\beta$

Обозначения и условия

α и β — внутренние накрест лежащие углы.

Соответственные углы

Углы и прямые / Параллельные прямые

Соответственные углы

Формулировка

При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны. Равенство таких углов — признак параллельности.

Формула

$a\parallel b\ \Longleftrightarrow\ \alpha=\beta$

Обозначения и условия

Углы расположены одинаково относительно прямых и секущей.

Односторонние углы

Углы и прямые / Параллельные прямые

Односторонние углы

Формулировка

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Верно и обратное.

Формула

$a\parallel b\ \Longleftrightarrow\ \alpha+\beta=180^\circ$

Обозначения и условия

α и β — внутренние углы с одной стороны секущей.

Перпендикуляр к параллельным

Углы и прямые / Параллельные прямые

Перпендикуляр к параллельным

Формулировка

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Формула

$a\parallel b,\ c\perp a\ \Longrightarrow\ c\perp b$

Обозначения и условия

a и b — параллельные прямые; c — секущая.

Биссектрисы односторонних углов

Углы и прямые / Параллельные прямые

Биссектрисы односторонних углов

Формулировка

Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых перпендикулярны.

Формула

$l_1\perp l_2$

Обозначения и условия

l₁ и l₂ — биссектрисы углов, сумма которых 180°.

Теорема Фалеса

Равные отрезки

Углы и прямые / Теорема Фалеса

Равные отрезки

Формулировка

Параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные последовательные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Формула

$OA_1=A_1A_2\ \Longrightarrow\ OB_1=B_1B_2$

Обозначения и условия

A₁B₁ ∥ A₂B₂; O — вершина угла.

Пропорциональные отрезки

Углы и прямые / Теорема Фалеса

Пропорциональные отрезки

Формулировка

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки.

Формула

$\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OB_1}{OB_2}$

Обозначения и условия

A₁B₁ ∥ A₂B₂; соответствующие отрезки отсчитываются от вершины O.

Обратная теорема Фалеса

Углы и прямые / Теорема Фалеса

Обратная теорема Фалеса

Формулировка

Если точки на сторонах угла делят эти стороны в одинаковом отношении, то соединяющие соответствующие точки отрезки параллельны.

Формула

$\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OB_1}{OB_2}\ \Longrightarrow\ A_1B_1\parallel A_2B_2$

Обозначения и условия

Точки лежат на одних и тех же лучах с началом O.

Треугольники

Основные свойства

Сумма углов треугольника

Треугольники / Основные свойства

Сумма углов треугольника

Формулировка

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Формула

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

Обозначения и условия

α = ∠A, β = ∠B, γ = ∠C.

Внешний угол

Треугольники / Основные свойства

Внешний угол

Формулировка

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Формула

$\delta=\alpha+\beta$

Обозначения и условия

δ — внешний угол при C; α и β — углы при A и B.

Неравенство треугольника

Треугольники / Основные свойства

Неравенство треугольника

Формулировка

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше модуля разности двух других сторон.

Формула

Обозначения и условия

a = BC, b = CA, c = AB; аналогично для b и c.

Сторона и противолежащий угол

Треугольники / Основные свойства

Сторона и противолежащий угол

Формулировка

Напротив большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Формула

$a>b\ \Longleftrightarrow\ \alpha>\beta$

Обозначения и условия

Стороны a и b лежат напротив углов α и β.

Равенство треугольников

По двум сторонам и углу

Треугольники / Равенство треугольников

По двум сторонам и углу

Формулировка

Треугольники равны, если две стороны и угол между ними соответственно равны.

Формула

$b=b_1,\ c=c_1,\ \alpha=\alpha_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Угол α заключён между сторонами b и c.

По стороне и двум углам

Треугольники / Равенство треугольников

По стороне и двум углам

Формулировка

Треугольники равны, если сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны.

Формула

$c=c_1,\ \alpha=\alpha_1,\ \beta=\beta_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Углы α и β прилежат к стороне c.

По трём сторонам

Треугольники / Равенство треугольников

По трём сторонам

Формулировка

Треугольники равны, если три стороны одного соответственно равны трём сторонам другого.

Формула

$a=a_1,\ b=b_1,\ c=c_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Порядок вершин задаёт соответствие сторон.

Подобие треугольников

Подобие по двум углам

Треугольники / Подобие треугольников

Подобие по двум углам

Формулировка

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны.

Формула

$\alpha=\alpha_1,\ \beta=\beta_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Соответствующие вершины записываются в одном порядке.

По двум сторонам и углу

Треугольники / Подобие треугольников

По двум сторонам и углу

Формулировка

Если две стороны пропорциональны, а углы между ними равны, треугольники подобны.

Формула

$\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1},\ \alpha=\alpha_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Угол α лежит между сторонами b и c.

По трём сторонам

Треугольники / Подобие треугольников

По трём сторонам

Формулировка

Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого, треугольники подобны.

Формула

$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k$

Обозначения и условия

k > 0 — коэффициент подобия.

Отношение линейных элементов

Треугольники / Подобие треугольников

Отношение линейных элементов

Формулировка

Периметры, соответствующие высоты, медианы, биссектрисы и радиусы подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

Формула

$\frac{P}{P_1}=\frac{h}{h_1}=\frac{m}{m_1}=\frac{r}{r_1}=\frac{R}{R_1}=k$

Обозначения и условия

Сравниваются соответствующие элементы.

Отношение площадей

Треугольники / Подобие треугольников

Отношение площадей

Формулировка

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Формула

$\frac{S}{S_1}=k^2$

Обозначения и условия

k — отношение соответствующих сторон первого треугольника ко второму.

Равнобедренный треугольник

Углы при основании

Треугольники / Равнобедренный треугольник

Углы при основании

Формулировка

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратно: равные углы лежат напротив равных сторон.

Формула

$AC=BC\ \Longleftrightarrow\ \angle A=\angle B$

Обозначения и условия

AB — основание, AC и BC — боковые стороны.

Биссектриса, медиана и высота

Треугольники / Равнобедренный треугольник

Биссектриса, медиана и высота

Формулировка

Отрезок из вершины равнобедренного треугольника к середине основания одновременно является медианой, высотой и биссектрисой.

Формула

$AM=MB,\ CM\perp AB,\ \angle ACM=\angle MCB$

Обозначения и условия

M — середина AB; AC = BC.

Признак по совпадению линий

Треугольники / Равнобедренный треугольник

Признак по совпадению линий

Формулировка

Если проведённые из одной вершины медиана и высота, медиана и биссектриса или высота и биссектриса совпадают, треугольник равнобедренный.

Формула

$CM\perp AB,\ AM=MB\ \Longrightarrow\ AC=BC$

Обозначения и условия

Формула показывает один из трёх равносильных признаков.

Равносторонний треугольник

Треугольники / Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Формулировка

Все стороны равностороннего треугольника равны, все углы равны 60°; центры и ортоцентр совпадают.

Формула

$a=b=c,\quad \alpha=\beta=\gamma=60^\circ$

Обозначения и условия

a — длина каждой стороны.

Равные высоты, медианы и биссектрисы

Треугольники / Равнобедренный треугольник

Равные высоты, медианы и биссектрисы

Формулировка

В равнобедренном треугольнике высоты, медианы и внутренние биссектрисы, проведённые из вершин основания, попарно равны. Равенство двух линий любого одного из этих видов также является признаком равнобедренного треугольника.

Формула

$AC=BC\ \Longrightarrow\ h_a=h_b,\ m_a=m_b,\ l_a=l_b$

Обозначения и условия

Равенство двух внутренних биссектрис как обратный признак известно как теорема Штейнера — Лемуса.

Линии и центры треугольника

Точка пересечения медиан

Треугольники / Линии и центры треугольника

Точка пересечения медиан

Формулировка

Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде. Она делит каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины.

Формула

$\frac{CG}{GM}=2$

Обозначения и условия

M — середина AB; G — точка пересечения медиан.

Длина медианы

Треугольники / Линии и центры треугольника

Длина медианы

Формулировка

Длина медианы выражается через стороны треугольника.

Формула

$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Обозначения и условия

CM — медиана к стороне c; AB = c, BC = a, CA = b.

Теорема о биссектрисе

Треугольники / Линии и центры треугольника

Теорема о биссектрисе

Формулировка

Биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.

Формула

$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$

Обозначения и условия

CD — биссектриса угла C; D лежит на AB.

Длина биссектрисы

Треугольники / Линии и центры треугольника

Длина биссектрисы

Формулировка

Длина биссектрисы вычисляется по прилежащим сторонам и половине угла между ними.

Формула

$l_c=\frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b},\quad l_c^2=ab-AD\cdot DB$

Обозначения и условия

a = BC, b = CA, γ = ∠C, CD — внутренняя биссектриса угла C.

Центр вписанной окружности

Треугольники / Линии и центры треугольника

Центр вписанной окружности

Формулировка

Три внутренние биссектрисы пересекаются в одной точке. Это центр окружности, касающейся всех сторон треугольника.

Формула

Обозначения и условия

I — инцентр; r — радиус вписанной окружности.

Угол между биссектрисами

Треугольники / Линии и центры треугольника

Угол между биссектрисами

Формулировка

Угол AIB между лучами к двум вершинам из инцентра равен 90° плюс половина третьего угла.

Формула

$\angle AIB=90^\circ+\frac{\gamma}{2}$

Обозначения и условия

I — инцентр, γ = ∠C; другой угол между прямыми равен 90° − γ/2.

Центр описанной окружности

Треугольники / Линии и центры треугольника

Центр описанной окружности

Формулировка

Серединные перпендикуляры к трём сторонам пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин.

Формула

Обозначения и условия

O — центр описанной окружности; R — её радиус.

Точка пересечения высот

Треугольники / Линии и центры треугольника

Точка пересечения высот

Формулировка

Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке — ортоцентре.

Формула

$AH\perp BC,\ BH\perp AC,\ CH\perp AB$

Обозначения и условия

H — ортоцентр. В тупоугольном треугольнике он находится вне треугольника.

Средняя линия треугольника

Треугольники / Линии и центры треугольника

Средняя линия треугольника

Формулировка

Отрезок между серединами двух сторон параллелен третьей стороне и равен её половине.

Формула

$MN\parallel AB,\quad MN=\frac{AB}{2}$

Обозначения и условия

M — середина AC, N — середина BC.

Четыре равных треугольника

Треугольники / Линии и центры треугольника

Четыре равных треугольника

Формулировка

Три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника.

Формула

$S_1=S_2=S_3=S_4=\frac{S}{4}$

Обозначения и условия

S — площадь исходного треугольника.

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора

Формулировка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула

Обозначения и условия

∠C = 90°; a = BC, b = CA — катеты, c = AB — гипотенуза.

Обратная теорема Пифагора

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Обратная теорема Пифагора

Формулировка

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, угол напротив этой стороны прямой.

Формула

$c^2=a^2+b^2\ \Longrightarrow\ \angle C=90^\circ$

Обозначения и условия

c — сторона, напротив которой проверяется угол.

Равенство прямоугольных треугольников

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Равенство прямоугольных треугольников

Формулировка

Прямоугольные треугольники равны по двум катетам; по гипотенузе и катету; по катету и соответствующему острому углу; по гипотенузе и острому углу.

Формула

$c=c_1,\ a=a_1\ \Longrightarrow\ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Обозначения и условия

Формула показывает признак по гипотенузе и катету.

Катет напротив 30°

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Катет напротив 30°

Формулировка

Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Верно и обратное для прямоугольного треугольника.

Формула

$\alpha=30^\circ\ \Longleftrightarrow\ a=\frac{c}{2}$

Обозначения и условия

a — катет напротив угла A; c — гипотенуза.

Синус, косинус и тангенс

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Синус, косинус и тангенс

Формулировка

В прямоугольном треугольнике синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему.

Формула

$\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \tan\alpha=\frac{a}{b}$

Обозначения и условия

α = ∠A, a = BC, b = CA, c = AB.

Медиана к гипотенузе

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Медиана к гипотенузе

Формулировка

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Обратно: если медиана равна половине стороны, к которой проведена, угол при её начале прямой.

Формула

$CM=AM=BM=\frac{c}{2}$

Обозначения и условия

M — середина гипотенузы AB.

Радиус описанной окружности

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Радиус описанной окружности

Формулировка

Описанная окружность прямоугольного треугольника имеет гипотенузу своим диаметром.

Формула

$R=\frac{c}{2}$

Обозначения и условия

Центр O — середина гипотенузы AB.

Подобие при высоте к гипотенузе

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Подобие при высоте к гипотенузе

Формулировка

Высота из вершины прямого угла делит треугольник на два треугольника, подобных исходному и друг другу.

Формула

$\triangle AHC\sim\triangle CHB\sim\triangle ACB$

Обозначения и условия

H — основание высоты CH на гипотенузе AB.

Катеты и их проекции

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Катеты и их проекции

Формулировка

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Формула

$b^2=c\cdot AH,\quad a^2=c\cdot HB$

Обозначения и условия

b = CA, a = CB, c = AB.

Высота к гипотенузе

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Высота к гипотенузе

Формулировка

Квадрат высоты к гипотенузе равен произведению двух отрезков гипотенузы; сама высота равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.

Формула

$h^2=AH\cdot HB,\quad h=\frac{ab}{c}$

Обозначения и условия

h = CH, c = AB.

Радиус вписанной окружности

Треугольники / Прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности

Формулировка

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен половине суммы катетов минус половина гипотенузы.

Формула

$r=\frac{a+b-c}{2}$

Обозначения и условия

a и b — катеты, c — гипотенуза.

Синусы и косинусы

Теорема синусов

Треугольники / Синусы и косинусы

Теорема синусов

Формулировка

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон и равно диаметру описанной окружности.

Формула

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$

Обозначения и условия

a = BC, b = CA, c = AB; R — радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Треугольники / Синусы и косинусы

Теорема косинусов

Формулировка

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Обозначения и условия

γ = ∠C лежит между сторонами a и b, напротив c.

Вид треугольника по сторонам

Треугольники / Синусы и косинусы

Вид треугольника по сторонам

Формулировка

Если c — наибольшая сторона, сравнение c² и a² + b² определяет вид треугольника.

Формула

$\begin{aligned}c^2<a^2+b^2&\ \Longrightarrow\ \gamma<90^\circ\\c^2=a^2+b^2&\ \Longrightarrow\ \gamma=90^\circ\\c^2>a^2+b^2&\ \Longrightarrow\ \gamma>90^\circ\end{aligned}$

Обозначения и условия

Меньше — остроугольный, равно — прямоугольный, больше — тупоугольный.

Многоугольники

Углы и правильные фигуры

Сумма внутренних углов

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Сумма внутренних углов

Формулировка

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).

Формула

$\sum\alpha_i=180^\circ(n-2)$

Обозначения и условия

n ≥ 3 — количество сторон; проведённые из одной вершины диагонали дают n − 2 треугольника.

Сумма внешних углов

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Сумма внешних углов

Формулировка

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине в одном направлении обхода, равна 360°.

Формула

$\sum\beta_i=360^\circ$

Обозначения и условия

βᵢ — угол, смежный соответствующему внутреннему углу.

Угол правильного многоугольника

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Угол правильного многоугольника

Формулировка

В правильном n-угольнике все стороны и углы равны. Центральный угол равен 360°/n.

Формула

$\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\quad \varphi=\frac{360^\circ}{n}$

Обозначения и условия

α — внутренний угол; φ — центральный угол между соседними вершинами.

Сторона и радиусы

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Сторона и радиусы

Формулировка

Сторона правильного n-угольника выражается через радиус описанной или вписанной окружности.

Формула

$a=2R\sin\frac{\pi}{n}=2r\tan\frac{\pi}{n}$

Обозначения и условия

R — внешний радиус; r — апофема, радиус вписанной окружности.

Равносторонний треугольник: высота и радиусы

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Равносторонний треугольник: высота и радиусы

Формулировка

В равностороннем треугольнике высота, радиусы вписанной и описанной окружностей выражаются через сторону.

Формула

$h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad r=\frac{a\sqrt3}{6},\quad R=\frac{a\sqrt3}{3}=2r$

Обозначения и условия

a — сторона; центры обеих окружностей совпадают.

Правильный шестиугольник

Многоугольники / Углы и правильные фигуры

Правильный шестиугольник

Формулировка

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне.

Формула

$R=a,\quad r=\frac{a\sqrt3}{2}$

Обозначения и условия

Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников.

Параллелограмм

Противоположные стороны

Многоугольники / Параллелограмм

Противоположные стороны

Формулировка

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Формула

$AB=CD,\ BC=AD,\ AB\parallel CD,\ BC\parallel AD$

Обозначения и условия

ABCD — параллелограмм.

Углы параллелограмма

Многоугольники / Параллелограмм

Углы параллелограмма

Формулировка

Противоположные углы равны, сумма любых двух соседних углов равна 180°.

Формула

$\angle A=\angle C,\quad \angle A+\angle B=180^\circ$

Обозначения и условия

Аналогичные равенства верны для другой пары углов.

Диагонали делятся пополам

Многоугольники / Параллелограмм

Диагонали делятся пополам

Формулировка

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Верно и обратное для четырёхугольника.

Формула

$AO=OC,\quad BO=OD$

Обозначения и условия

O — точка пересечения AC и BD.

Признаки параллелограмма

Многоугольники / Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Формулировка

Четырёхугольник — параллелограмм, если противоположные стороны попарно равны; либо одна пара равна и параллельна; либо диагонали делятся пополам; либо противоположные углы попарно равны.

Формула

$AB=CD,\ AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ AD\parallel BC$

Обозначения и условия

Формула показывает признак по одной паре сторон.

Тождество параллелограмма

Многоугольники / Параллелограмм

Тождество параллелограмма

Формулировка

Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух соседних сторон.

Формула

Обозначения и условия

a и b — соседние стороны; d₁ и d₂ — диагонали.

Прямоугольник, ромб, квадрат

Диагонали прямоугольника

Многоугольники / Прямоугольник, ромб, квадрат

Диагонали прямоугольника

Формулировка

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Формула

$AC=BD=\sqrt{a^2+b^2}$

Обозначения и условия

a и b — стороны прямоугольника.

Диагонали ромба

Многоугольники / Прямоугольник, ромб, квадрат

Диагонали ромба

Формулировка

Диагонали ромба перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Формула

$AC\perp BD,\quad \angle BAC=\angle CAD$

Обозначения и условия

ABCD — ромб.

Признаки ромба

Многоугольники / Прямоугольник, ромб, квадрат

Признаки ромба

Формулировка

Параллелограмм является ромбом, если две соседние стороны равны, или его диагонали перпендикулярны, или одна диагональ делит угол пополам.

Формула

$AC\perp BD\ \Longrightarrow\ AB=BC=CD=DA$

Обозначения и условия

Признак по перпендикулярности диагоналей требует, чтобы фигура уже была параллелограммом.

Диагонали квадрата

Многоугольники / Прямоугольник, ромб, квадрат

Диагонали квадрата

Формулировка

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят углы пополам.

Формула

$d=a\sqrt2,\quad AC\perp BD$

Обозначения и условия

a — сторона; угол между диагональю и стороной равен 45°.

Радиусы окружностей квадрата

Многоугольники / Прямоугольник, ромб, квадрат

Радиусы окружностей квадрата

Формулировка

В квадрат можно вписать окружность и около него можно описать окружность.

Формула

$r=\frac a2,\quad R=\frac{a\sqrt2}{2}$

Обозначения и условия

a — сторона; центры обеих окружностей — точка пересечения диагоналей.

Трапеция

Средняя линия трапеции

Многоугольники / Трапеция

Средняя линия трапеции

Формулировка

Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме.

Формула

$MN\parallel AB\parallel CD,\quad MN=\frac{a+b}{2}$

Обозначения и условия

AB = b, CD = a — основания; M и N — середины AD и BC.

Равнобедренная трапеция

Многоугольники / Трапеция

Равнобедренная трапеция

Формулировка

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны. Каждое из этих свойств служит обратным признаком.

Формула

$AD=BC\ \Longleftrightarrow\ \angle A=\angle B\ \Longleftrightarrow\ AC=BD$

Обозначения и условия

AB ∥ CD, основания различны.

Проекции в равнобедренной трапеции

Многоугольники / Трапеция

Проекции в равнобедренной трапеции

Формулировка

Проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований, проекция диагонали — их полусумме.

Формула

$x=\frac{b-a}{2},\quad y=\frac{a+b}{2}$

Обозначения и условия

b > a; x — проекция боковой стороны, y — проекция диагонали.

Диагонали и подобие

Многоугольники / Трапеция

Диагонали и подобие

Формулировка

Точка пересечения диагоналей трапеции делит их в отношении оснований.

Формула

$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}$

Обозначения и условия

O = AC ∩ BD; AB ∥ CD.

Середины диагоналей

Многоугольники / Трапеция

Середины диагоналей

Формулировка

Отрезок между серединами диагоналей трапеции параллелен основаниям и равен полуразности их длин.

Формула

$PQ=\frac{|b-a|}{2}$

Обозначения и условия

P — середина AC, Q — середина BD.

Описанная окружность

Многоугольники / Трапеция

Описанная окружность

Формулировка

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Формула

$AD=BC\ \Longleftrightarrow\ \angle A+\angle C=180^\circ$

Обозначения и условия

AB ∥ CD; основания имеют разную длину (параллелограммы здесь не считаются трапециями).

Вписанная окружность

Многоугольники / Трапеция

Вписанная окружность

Формулировка

Если в трапецию вписана окружность, её диаметр равен высоте трапеции.

Формула

$r=\frac h2$

Обозначения и условия

h — расстояние между параллельными основаниями.

Равнобедренная описанная трапеция

Многоугольники / Трапеция

Равнобедренная описанная трапеция

Формулировка

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью боковая сторона равна средней линии, а высота — среднему геометрическому оснований.

Формула

$l=\frac{a+b}{2},\quad h=\sqrt{ab},\quad r=\frac{\sqrt{ab}}2$

Обозначения и условия

a и b — основания, l — боковая сторона.

Вписанные и описанные фигуры

Признак вписанного четырёхугольника

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Признак вписанного четырёхугольника

Формулировка

Выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.

Формула

$\angle A+\angle C=180^\circ$

Обозначения и условия

ABCD — выпуклый четырёхугольник с вершинами в порядке обхода.

Признак по равным углам

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Признак по равным углам

Формулировка

Если вершины B и D лежат по одну сторону прямой AC и углы ABC и ADC равны, четыре точки лежат на одной окружности.

Формула

$\angle ABC=\angle ADC$

Обозначения и условия

Четыре точки различны; B и D строго по одну сторону AC; углы невырожденные.

Противоположные стороны описанного четырёхугольника

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Противоположные стороны описанного четырёхугольника

Формулировка

Если выпуклый четырёхугольник описан около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Формула

Обозначения и условия

Окружность касается всех четырёх сторон.

Окружность около параллелограмма

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Окружность около параллелограмма

Формулировка

Параллелограмм можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда он прямоугольник.

Формула

$R=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}$

Обозначения и условия

Для прямоугольника центр окружности — пересечение диагоналей.

Окружность внутри параллелограмма

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Окружность внутри параллелограмма

Формулировка

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он ромб.

Формула

$r=\frac h2=\frac{a\sin\alpha}{2}$

Обозначения и условия

a — сторона ромба, α — угол, h — высота.

Окружность около ромба

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Окружность около ромба

Формулировка

Около ромба можно описать окружность тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Формула

$\angle A=90^\circ,\quad R=\frac{a\sqrt2}{2}$

Обозначения и условия

a — сторона квадрата.

Дельтоид

Многоугольники / Вписанные и описанные фигуры

Дельтоид

Формулировка

В выпуклом дельтоиде с двумя парами равных соседних сторон диагональ, соединяющая вершины между равными сторонами, — серединный перпендикуляр к другой диагонали и биссектриса двух углов.

Формула

$AB=AD,\ CB=CD\ \Longrightarrow\ AC\perp BD,\ BO=OD$

Обозначения и условия

O = AC ∩ BD. Не следует считать обе диагонали делящимися пополам.

Окружность

Углы и дуги

Центральный угол

Окружность / Углы и дуги

Центральный угол

Формулировка

Градусная мера дуги равна величине центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Формула

$\angle AOB=\overset{\frown}{AB}$

Обозначения и условия

O — центр окружности; в формуле берётся соответствующая углу дуга.

Вписанный угол

Окружность / Углы и дуги

Вписанный угол

Формулировка

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Формула

$\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}$

Обозначения и условия

Дуга AB не содержит вершину C.

Углы на одной дуге

Окружность / Углы и дуги

Углы на одной дуге

Формулировка

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Формула

$\angle ACB=\angle ADB$

Обозначения и условия

C и D лежат на одной дуге AB; рассматривается противоположная дуга.

Угол, опирающийся на диаметр

Окружность / Углы и дуги

Угол, опирающийся на диаметр

Формулировка

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Формула

$\angle ACB=90^\circ$

Обозначения и условия

AB — диаметр; C — другая точка окружности.

Угол между касательной и хордой

Окружность / Углы и дуги

Угол между касательной и хордой

Формулировка

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу.

Формула

$\alpha=\frac12\overset{\frown}{AB}$

Обозначения и условия

Вершина угла — точка касания A; дуга выбирается соответствующая углу.

Угол между хордами

Окружность / Углы и дуги

Угол между хордами

Формулировка

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла.

Формула

$\angle AEC=\frac{\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}}{2}$

Обозначения и условия

E = AB ∩ CD; дуги AC и BD соответствуют углу AEC.

Угол между секущими

Окружность / Углы и дуги

Угол между секущими

Формулировка

Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности равен половине разности большей и меньшей дуг.

Формула

$\angle AP C=\frac{\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AC}}2$

Обозначения и условия

P — внешняя точка; A, C — ближние, B, D — дальние точки пересечения.

Угол между касательными

Окружность / Углы и дуги

Угол между касательными

Формулировка

Угол между двумя касательными из внешней точки дополняет до 180° центральный угол между радиусами к точкам касания.

Формула

$\angle APB=180^\circ-\angle AOB$

Обозначения и условия

PA и PB — касательные; меньший центральный угол AOB.

Угол между касательной и секущей

Окружность / Углы и дуги

Угол между касательной и секущей

Формулировка

Угол между касательной и секущей из внешней точки равен половине разности заключённых между их сторонами дуг.

Формула

$\angle TPA=\frac{\overset{\frown}{TB}-\overset{\frown}{TA}}2$

Обозначения и условия

P — внешняя точка; T — точка касания; A — ближняя, B — дальняя точка секущей.

Хорды, касательные, секущие

Радиус к точке касания

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Радиус к точке касания

Формулировка

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Обратно: прямая через конец радиуса, перпендикулярная ему, является касательной.

Формула

$OT\perp l$

Обозначения и условия

T — точка касания, O — центр.

Отрезки касательных

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Отрезки касательных

Формулировка

Отрезки двух касательных из одной внешней точки равны.

Формула

Обозначения и условия

A и B — точки касания.

Равные хорды и дуги

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Равные хорды и дуги

Формулировка

В одной окружности или равных окружностях равные хорды стягивают равные меньшие дуги; верно и обратное.

Формула

$AB=CD\ \Longleftrightarrow\ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$

Обозначения и условия

Сравниваются меньшие дуги либо соответствующие большие дуги.

Диаметр и середина хорды

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Диаметр и середина хорды

Формулировка

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её и соответствующие дуги пополам. Прямая через центр и середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярна хорде.

Формула

$OM\perp AB,\quad AM=MB$

Обозначения и условия

O — центр; M — середина хорды AB.

Длина хорды

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Длина хорды

Формулировка

Длина хорды определяется радиусом и расстоянием от центра до хорды либо соответствующим меньшим центральным углом.

Формула

$AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2R\sin\frac{\alpha}{2}$

Обозначения и условия

d = OM, R — радиус, α — меньший центральный угол AOB.

Произведения отрезков хорд

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Произведения отрезков хорд

Формулировка

У двух хорд, пересекающихся внутри окружности, произведения отрезков каждой хорды равны.

Формула

$EA\cdot EB=EC\cdot ED$

Обозначения и условия

E = AB ∩ CD.

Касательная и секущая

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Касательная и секущая

Формулировка

Квадрат отрезка касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.

Формула

$PT^2=PA\cdot PB=PO^2-R^2$

Обозначения и условия

P — внешняя точка; A — ближняя, B — дальняя точка секущей; T — точка касания.

Две секущие

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Две секущие

Формулировка

Для двух секущих из одной внешней точки произведения внешней части на всю секущую одинаковы.

Формула

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

Обозначения и условия

A и C — ближние, B и D — дальние точки пересечения.

Отрезки касания треугольника

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Отрезки касания треугольника

Формулировка

Отрезки сторон от вершины до точек касания вписанной окружности равны полупериметру минус противоположная сторона.

Формула

Обозначения и условия

a = BC, p = (a + b + c)/2; T на AB, U на AC.

Хорда и расстояние до центра

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Хорда и расстояние до центра

Формулировка

В одной окружности равные хорды равноудалены от центра. Из двух неравных хорд большая находится ближе к центру.

Формула

$AB=CD\ \Longleftrightarrow\ d_1=d_2$

Обозначения и условия

d₁ и d₂ — длины перпендикуляров из центра к хордам.

Дуги между параллельными хордами

Окружность / Хорды, касательные, секущие

Дуги между параллельными хордами

Формулировка

Дуги одной окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.

Формула

$AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$

Обозначения и условия

AB и CD — параллельные хорды; A, B, C, D идут по окружности.

Две окружности

Внешнее касание

Окружность / Две окружности

Внешнее касание

Формулировка

При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов.

Формула

Обозначения и условия

d = O₁O₂; R и r — радиусы.

Внутреннее касание

Окружность / Две окружности

Внутреннее касание

Формулировка

При внутреннем касании двух различных окружностей расстояние между центрами равно разности радиусов.

Формула

Обозначения и условия

R > r > 0.

Две точки пересечения

Окружность / Две окружности

Две точки пересечения

Формулировка

Две окружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние между центрами строго между разностью и суммой радиусов. Общая хорда перпендикулярна линии центров.

Формула

$|R-r|<d<R+r,\quad AB\perp O_1O_2$

Обозначения и условия

A и B — точки пересечения.

Общая внешняя касательная

Окружность / Две окружности

Общая внешняя касательная

Формулировка

Длина отрезка общей внешней касательной между точками касания вычисляется по расстоянию между центрами и разности радиусов.

Формула

$AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$

Обозначения и условия

d > |R − r|; R и r — радиусы.

Площади и длины

Площадь треугольника

Основание и высота

Площади и длины / Площадь треугольника

Основание и высота

Формулировка

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.

Формула

$S=\frac12 ch_c$

Обозначения и условия

c = AB, CH — высота к стороне c.

Две стороны и угол

Площади и длины / Площадь треугольника

Две стороны и угол

Формулировка

Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Формула

$S=\frac12 ab\sin\gamma$

Обозначения и условия

a = BC, b = CA, γ = ∠C.

Формула Герона

Площади и длины / Площадь треугольника

Формула Герона

Формулировка

Площадь треугольника выражается через три стороны и полупериметр.

Формула

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}$

Обозначения и условия

Стороны положительны и удовлетворяют неравенству треугольника.

Через вписанную окружность

Площади и длины / Площадь треугольника

Через вписанную окружность

Формулировка

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Формула

Обозначения и условия

p = (a + b + c)/2, r — радиус вписанной окружности.

Через описанную окружность

Площади и длины / Площадь треугольника

Через описанную окружность

Формулировка

Площадь треугольника равна произведению трёх сторон, делённому на четыре радиуса описанной окружности.

Формула

$S=\frac{abc}{4R}$

Обозначения и условия

R — радиус описанной окружности.

Равносторонний треугольник

Площади и длины / Площадь треугольника

Равносторонний треугольник

Формулировка

Площадь равностороннего треугольника определяется его стороной.

Формула

$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}$

Обозначения и условия

a — сторона равностороннего треугольника.

Площади многоугольников

Параллелограмм

Площади и длины / Площади многоугольников

Параллелограмм

Формулировка

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту или произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

Формула

$S=ah=a b\sin\alpha$

Обозначения и условия

a = AB, b = AD, h — высота к AB, α = ∠DAB.

Прямоугольник

Площади и длины / Площади многоугольников

Прямоугольник

Формулировка

Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних сторон.

Формула

Обозначения и условия

a и b — стороны.

Квадрат

Площади и длины / Площади многоугольников

Квадрат

Формулировка

Площадь квадрата равна квадрату стороны или половине квадрата диагонали.

Формула

$S=a^2=\frac{d^2}{2}$

Обозначения и условия

a — сторона, d — диагональ.

Ромб

Площади и длины / Площади многоугольников

Ромб

Формулировка

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей; также её можно найти через сторону и угол.

Формула

$S=\frac{d_1d_2}{2}=a^2\sin\alpha$

Обозначения и условия

d₁ и d₂ — перпендикулярные диагонали, a — сторона.

Трапеция

Площади и длины / Площади многоугольников

Трапеция

Формулировка

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула

$S=\frac{a+b}{2}h$

Обозначения и условия

a = CD, b = AB — основания, h — высота.

Четырёхугольник по диагоналям

Площади и длины / Площади многоугольников

Четырёхугольник по диагоналям

Формулировка

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Формула

$S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi$

Обозначения и условия

d₁ = AC, d₂ = BD, φ — угол между диагоналями.

Описанный многоугольник

Площади и длины / Площади многоугольников

Описанный многоугольник

Формулировка

Площадь выпуклого многоугольника, описанного около окружности, равна произведению полупериметра на её радиус.

Формула

Обозначения и условия

p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности; фигура не обязана быть правильной.

Отношения площадей

Общая высота

Площади и длины / Отношения площадей

Общая высота

Формулировка

Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания.

Формула

$\frac{S_{ACD}}{S_{BCD}}=\frac{AC}{CB}$

Обозначения и условия

C лежит на AB; общая высота опущена из D на AB.

Общее основание

Площади и длины / Отношения площадей

Общее основание

Формулировка

Площади треугольников с общим основанием относятся как их высоты.

Формула

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{h_1}{h_2}$

Обозначения и условия

Основание обоих треугольников — AB.

Равные углы

Площади и длины / Отношения площадей

Равные углы

Формулировка

Если углы между двумя сторонами двух треугольников равны, их площади относятся как произведения этих сторон.

Формула

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1b_1}{a_2b_2}$

Обозначения и условия

Углы между указанными сторонами равны; подобие треугольников не требуется.

Медиана делит площадь пополам

Площади и длины / Отношения площадей

Медиана делит площадь пополам

Формулировка

Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Формула

$S_{ACM}=S_{BCM}=\frac S2$

Обозначения и условия

M — середина AB.

Шесть равновеликих частей

Площади и длины / Отношения площадей

Шесть равновеликих частей

Формулировка

Три медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.

Формула

$S_1=\cdots=S_6=\frac S6$

Обозначения и условия

G — центроид; концы медиан — середины сторон.

Точка внутри параллелограмма

Площади и длины / Отношения площадей

Точка внутри параллелограмма

Формулировка

Сумма площадей треугольников с общей внутренней вершиной и основаниями на противоположных сторонах равна половине площади параллелограмма.

Формула

$S_{ABP}+S_{CDP}=\frac12 S_{ABCD}$

Обозначения и условия

P — внутренняя точка параллелограмма ABCD.

Круг, дуга, сектор

Длина окружности

Площади и длины / Круг, дуга, сектор

Длина окружности

Формулировка

Длина окружности равна произведению её диаметра на π.

Формула

$L=2\pi R$

Обозначения и условия

R — радиус; π ≈ 3,14159.

Длина дуги

Площади и длины / Круг, дуга, сектор

Длина дуги

Формулировка

Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол в радианах.

Формула

$l=R\theta=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi R$

Обозначения и условия

θ — угол в радианах, α — тот же угол в градусах.

Площадь круга

Площади и длины / Круг, дуга, сектор

Площадь круга

Формулировка

Площадь круга равна произведению π на квадрат радиуса.

Формула

$S=\pi R^2$

Обозначения и условия

R — радиус круга.

Площадь сектора

Площади и длины / Круг, дуга, сектор

Площадь сектора

Формулировка

Площадь сектора пропорциональна его центральному углу.

Формула

$S=\frac{R^2\theta}{2}=\frac{\alpha}{360^\circ}\,\pi R^2$

Обозначения и условия

θ — в радианах; α — в градусах.

Площадь сегмента

Площади и длины / Круг, дуга, сектор

Площадь сегмента

Формулировка

Площадь сегмента определяется площадью соответствующего сектора и треугольника между его радиусами.

Формула

$S=\frac{R^2}{2}(\theta-\sin\theta)$

Обозначения и условия

0 < θ < 2π — центральный угол соответствующей дуги в радианах.

Дополнительно для ЕГЭ

Именные теоремы

Теорема Менелая

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Теорема Менелая

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Точки D и E внутри сторон AB и BC и точка F на продолжении CA лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда произведение указанных отношений равно 1.

Формула

$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=1$

Обозначения и условия

Точки не совпадают с вершинами; F вне отрезка CA; используются положительные длины.

Теорема Чевы

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Теорема Чевы

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Три отрезка от вершин треугольника к точкам на противоположных сторонах пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений равно 1.

Формула

$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$

Обозначения и условия

D на BC, E на CA, F на AB; точки лежат внутри сторон.

Теорема Птолемея

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Теорема Птолемея

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

В выпуклом вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Равенство служит и признаком вписанности.

Формула

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

Обозначения и условия

Вершины ABCD записаны в порядке обхода.

Теорема Вариньона

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Теорема Вариньона

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Середины последовательных сторон выпуклого четырёхугольника образуют параллелограмм с площадью вдвое меньше исходной.

Формула

$S_{MNPQ}=\frac12S_{ABCD},\quad MN=\frac{AC}{2}$

Обозначения и условия

M, N, P, Q — середины AB, BC, CD, DA.

Формула Эйлера для центров

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Формула Эйлера для центров

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника выражается через их радиусы.

Формула

$OI^2=R(R-2r),\quad R\ge 2r$

Обозначения и условия

O — центр описанной окружности, I — инцентр.

Прямая Эйлера

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Прямая Эйлера

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

В неравностороннем треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой. Центроид делит отрезок от O до H в отношении 1 : 2.

Формула

Обозначения и условия

O — центр описанной окружности, G — центроид, H — ортоцентр; в равностороннем треугольнике точки совпадают.

Окружность девяти точек

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Окружность девяти точек

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра лежат на одной окружности.

Формула

$R_9=\frac R2,\quad N=\operatorname{mid}(O,H)$

Обозначения и условия

N — её центр, O — центр описанной окружности, H — ортоцентр.

Прямая Симсона

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Прямая Симсона

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Основания перпендикуляров из точки описанной окружности на три прямые, содержащие стороны треугольника, лежат на одной прямой.

Формула

$X,Y,Z\in l$

Обозначения и условия

P — точка окружности; X, Y, Z — основания перпендикуляров; проекции могут лежать на продолжениях сторон.

Теорема Стюарта

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Теорема Стюарта

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Длина произвольного отрезка от вершины треугольника к противоположной стороне связана со сторонами и двумя отрезками основания.

Формула

Обозначения и условия

D на AB; AD = m, DB = n, c = m + n, CD = d, a = BC, b = CA.

Формула Брахмагупты

Дополнительно для ЕГЭ / Именные теоремы

Формула Брахмагупты

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Площадь выпуклого вписанного четырёхугольника выражается через четыре стороны и полупериметр.

Формула

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Обозначения и условия

a, b, c, d — стороны в порядке обхода; p = (a + b + c + d)/2. Условие вписанности обязательно.

Линии и окружности треугольника

Биссектриса внешнего угла

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Биссектриса внешнего угла

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Биссектриса внешнего угла при C пересекает прямую AB в точке D вне стороны AB. Отношение расстояний от D до A и B равно отношению прилежащих сторон AC и CB.

Формула

$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$

Обозначения и условия

AC ≠ BC; при AC = BC внешняя биссектриса параллельна AB.

Вневписанная окружность

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Вневписанная окружность

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Две внешние биссектрисы и одна внутренняя пересекаются в центре вневписанной окружности.

Формула

$r_c=\frac{S}{p-c}$

Обозначения и условия

Окружность касается AB и продолжений AC и BC; c = AB.

Площадь через вневписанные радиусы

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Площадь через вневписанные радиусы

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность полупериметра и длины соответствующей стороны.

Формула

Обозначения и условия

rₐ — радиус окружности, касающейся стороны a; p — полупериметр.

Биссектриса и середина дуги

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Биссектриса и середина дуги

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Внутренняя биссектриса пересекает описанную окружность в середине дуги между двумя другими вершинами, не содержащей исходную вершину.

Формула

$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB},\quad AD=DB$

Обозначения и условия

CD — биссектриса угла C; D лежит на дуге AB без C.

Лемма о трезубце

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Лемма о трезубце

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Середина дуги AB, не содержащей C, равноудалена от A, B и инцентра треугольника ABC.

Формула

Обозначения и условия

D — точка пересечения биссектрисы C с описанной окружностью; I — инцентр.

Отражение ортоцентра

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Отражение ортоцентра

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Отражение ортоцентра относительно стороны треугольника лежит на описанной окружности.

Формула

Обозначения и условия

C₁ — основание высоты из C на AB; H′ — отражение H относительно AB.

Площадь через медианы

Дополнительно для ЕГЭ / Линии и окружности треугольника

Площадь через медианы

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Медианы треугольника могут быть сторонами другого треугольника. Его площадь равна 3/4 площади исходного.

Формула

$S=\frac43\sqrt{q(q-m_a)(q-m_b)(q-m_c)}$

Обозначения и условия

S — площадь исходного треугольника; q — половина суммы длин трёх медиан.

Полезные свойства четырёхугольников

Площади при диагоналях трапеции

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Площади при диагоналях трапеции

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Треугольники у боковых сторон трапеции равновелики; их площадь — среднее геометрическое площадей треугольников у оснований.

Формула

$S_{AOD}=S_{BOC}=\sqrt{S_{AOB}S_{COD}}$

Обозначения и условия

AB ∥ CD, O = AC ∩ BD.

Сечение через пересечение диагоналей

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Сечение через пересечение диагоналей

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Отрезок между боковыми сторонами трапеции, проходящий через пересечение диагоналей параллельно основаниям, равен гармоническому среднему оснований.

Формула

$MN=\frac{2ab}{a+b}$

Обозначения и условия

a = CD, b = AB; M и N лежат на боковых сторонах.

Сечение на две равные площади

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Сечение на две равные площади

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Параллельное основаниям сечение, делящее площадь трапеции пополам, имеет длину среднего квадратического оснований.

Формула

$MN=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Обозначения и условия

a и b — основания; площади по обе стороны MN равны.

Сечение на две подобные трапеции

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Сечение на две подобные трапеции

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Длина параллельного основаниям отрезка, делящего трапецию на две подобные трапеции, равна среднему геометрическому оснований.

Формула

$MN=\sqrt{ab}$

Обозначения и условия

a и b — основания.

Признак перпендикулярных диагоналей

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Признак перпендикулярных диагоналей

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Формула

$AC\perp BD\ \Longleftrightarrow\ AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$

Обозначения и условия

Признак верен не только для ромба.

Теорема британского флага

Дополнительно для ЕГЭ / Полезные свойства четырёхугольников

Теорема британского флага

Дополнительно для ЕГЭ

Формулировка

Для точки внутри прямоугольника суммы квадратов расстояний до противоположных вершин равны.

Формула

Обозначения и условия

ABCD — прямоугольник.

Координаты и векторы

Координатный метод

Расстояние между точками

Координаты и векторы / Координатный метод

Расстояние между точками

Формулировка

Расстояние между двумя точками находится по теореме Пифагора для разностей координат.

Формула

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Обозначения и условия

A(xₐ, yₐ), B(xᵦ, yᵦ).

Координаты середины

Координаты и векторы / Координатный метод

Координаты середины

Формулировка

Координаты середины отрезка — средние арифметические координат его концов.

Формула

$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Обозначения и условия

M — середина AB.

Уравнение окружности

Координаты и векторы / Координатный метод

Уравнение окружности

Формулировка

Окружность состоит из точек, находящихся на расстоянии R от её центра.

Формула

Обозначения и условия

O(x₀, y₀) — центр; R > 0.

Уравнение прямой

Координаты и векторы / Координатный метод

Уравнение прямой

Формулировка

Прямую на плоскости задаёт линейное уравнение с двумя неизвестными.

Формула

$ax+by+c=0,\quad (a,b)\ne(0,0)$

Обозначения и условия

Вектор (a, b) перпендикулярен этой прямой.

Векторы на плоскости

Координаты и длина вектора

Координаты и векторы / Векторы на плоскости

Координаты и длина вектора

Формулировка

Координаты вектора — разности координат его конца и начала; длина вычисляется по теореме Пифагора.

Формула

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A),\quad |\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$

Обозначения и условия

uₓ и uᵧ — координаты вектора.

Правило треугольника

Координаты и векторы / Векторы на плоскости

Правило треугольника

Формулировка

Последовательное перемещение из A в B и из B в C равносильно перемещению из A в C.

Формула

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Обозначения и условия

Правило параллелограмма — другой способ сложения двух векторов с общим началом.

Скалярное произведение

Координаты и векторы / Векторы на плоскости

Скалярное произведение

Формулировка

Скалярное произведение равно произведению длин на косинус угла между векторами; в координатах — сумме произведений одноимённых координат.

Формула

$\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y=|\vec u||\vec v|\cos\varphi$

Обозначения и условия

φ — угол между ненулевыми векторами.

Перпендикулярность векторов

Координаты и векторы / Векторы на плоскости

Перпендикулярность векторов

Формулировка

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Формула

$\vec u\perp\vec v\ \Longleftrightarrow\ u_xv_x+u_yv_y=0$

Обозначения и условия

Оба вектора должны быть ненулевыми.

Коллинеарность векторов

Координаты и векторы / Векторы на плоскости

Коллинеарность векторов

Формулировка

Два вектора коллинеарны, если определитель их координат равен нулю.

Формула

Обозначения и условия

Для ненулевых векторов это означает параллельность содержащих их прямых.

Разобраться вместе

Теорема понятна, а задача не решается?

Обсудим, какие темы стоит повторить и как применять геометрию в задачах.

Обсудить занятия →